tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp A5 - Chương 4: Phương trình vi phân cấp 2

Bài giảng "Toán cao cấp A5- Chương 4: Phương trình vi phân cấp 2" cung cấp cho người học các kiến thức: Các phương trình vi phân có thể giảm cấp, phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng. nội dung chi tiết. | 10 3 2014 Chương 4. Phương trình vi phân cấp 2 . Các phương trình vi phân có thể giảm cấp. . Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng. Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có 1 Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của dạng F X y y F 0 trong đó y f x xác định trên D c R. phương trình 1 thỏa mãn điều kiện ban đầu y x0 y0 y x0 y0 với x0 y0 y0 là những số cho trước. Nghiệm của 1 là một hàmy f x xác định và khả vi cho đến cấp 2 trên tập D c R sao cho F X y x y x y x 0 Vxe D. Các phương trình vi phân cấp 2 có thể giảm cấp Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng Các PTVP cấp 2 có thể giảm cấp 1. Phương trình không chứa trực tiếp y y Dạng cơ bản y f x . 2 Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế phương trình 2 ta được y J f x dx C1 p x C1. y J x C1 d C2 iỵ x C1x C2. 1 10 3 2014 2. Phương trình không chứa trực tiêp y Dạng cơ bản F x y y 0 3 Phương pháp giải Đặt ẩn hàm phụ z y thì ta có phương trình G x z z 0 4 Giải 4 ta tìm được z. Khi đó y Jzdx C. 3. Phương trình không chứa biên độc lập x Dạng cơ bản F y y y 0. 5 Phương pháp giải Đặt z y . Ta coi y là biên độc lập và z là hàm số theo biên y. Ta có dy dz dz dy dz dz y i r r-1 y .z dx dx dy dx dy dy Thay vào 5 ta nhận được một PTVP câp 1 theo ẩn hàm z F yz Lz 0. dy Giải phương trình này ta được z z y C1 . Suy ra yy- z z y C1 x dx f dy J z y C1 C2. 2 10 3 2014 Bài tập 1 Giải các PTVP sau PTVP tuyên tính câp 2 có hệ sô hăng 1. PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất 1 xy y 2 yy - yy In y y ỹ 3 yy y 2 1 4 y -2- ý 2 0. 1 - y Dạng cơ bản y pyý qy 0 6 Phương pháp giải Xét phương trình đặc trưng k2 pk q 0. 7 Nếu 7 có hai nghiệm thực phân biệt k1 k2 thì nghiệm tổng quát của 6 có dạng y Cfkix C2ek2x. Nếu 7 có nghiệm kép k1 k2 k thì nghiệm tổng quát của 6 có dạng y ce C2 xekx. Nếu 7 có hai nghiệm phức k1 a ifi k2 a- ifi thì nghiệm tổng quát của 6 có dạng y eax C1 cos fix C2 sin fix . Ví dụ Giải PTVP ý - 3ý 2y 0. Ví dụ Giải PTVP y - 4 y 4 y 0. Ví dụ