Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Bài 2: Các bất đẳng thức kinh điển, quan trọng ứng dụng giải nhiều bài toán - Trần Thông Quế

nội dung bài 2 "Các bất đẳng thức kinh điển, quan trọng ứng dụng giải nhiều bài toán" dưới đây để nắm bắt được những nội dung về trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình lũy thừa, trung bình điều hòa,. Với các bạn đang học và ôn thi môn Toán thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn. | Bài 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN QUAN TRỌNG ỨNG DỤNG GIẢI NHIỀU BÀI TOÁN 1 Từ bất đẳng thức bđt x1 - x2 2 0 suy ra x12 x22 2x1x2 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 Nếu x15 x2 là các số dương thì hiển nhiên X x -1 X2 2 1 x2 X1 Dùng bđt 1 dễ dàng chứng minh được định lý sau 2 Định lý 1 Tổng của hai số dương không nhỏ hơn 2 nếu tích của chúng bằng đơn vị. chứng minh Thậy vậy nếu xy 1 - y . bất đẳng thức cần chứng minh x y 2 o x 2 bất đẳng thức cuối cùng này suy ra từ 1 với x1 x và x2 y. định lý đã được chứng minh Ta chuyển sang chứng minh định lý tổng quát. 3 Định lý tổng quát định lý 2 Nếu tích của n số dương bằng đơn vị thì tổng của chúng không nhỏ hơn n. Ta diễn đạt định lý 2 bằng biểu thức tóan học từ bất đẳng thức x1x2x3.xn 1 suy ra x1 x2 x3 . xn n hơn nữa x1 x2 x3 . xn n nếu tất cả các số x15 x2 x3 . xn không đồng thời bằng nhau. chứng minh Ta sẽ chứng minh định lý này bằng phương pháp Quy nạp. Trên đây ta đã chứng minh định lý tổng quát đối với trường hợp n 2. Đến đây ta giả sử rằng định lý đúng với n k 2 nghĩa là giả sử rằng x1 x2 x3 . xn k nếu x1x2x3. .xk 1. Bây giờ ta phải chứng minh định lý tổng quát đúng với n k 1 nghĩa là ta cần chứng minh Nếu x1x2x3.xk.xk 1 1 thì x1 x2 x3 . xk xk 1 k 1 vói tất cả xi 0 trong đó i 1 2 3 . k 1. Trước hết ta có nhận xét rằng nếu x1x2x3.xk.xk 1 1 thì có thể có hai trường hợp cần xét sau a-Tất cả các số x1 x2 x3 . xk xk 1 đều bằng nhaui số. Hiển nhiên trong trường hợp này mỗi thừa số trong tích trên bằng đơn vị và tổng của chúng bằng k 1 x1 x2 x3 . xk xk 1 k 1 b-Tất cả các thừa số trong tích đã cho ở trên không bằng nhau. Khi đó thế nào ta cũng tìm được số lớn hơn đơn vị và số nhỏ hơn đơn vị nếu tất cả các thừa số trong tích đó nhỏ hơn đơn vị thì tích của chúng sẽ nhỏ hơn đơn vị điều này trái với giả thiết của định lý . Như vậy ta có thể giả sử x1 1 còn xk 1 1. Đến đây ta có x1xk 1 x2x3.xk 1 Ta đặt y1 x1xk 1 khi đó đẳng thức trên đây là yix2X3.Xk 1 Ở đây vì có tích của k số dương bằng đơn vị nên theo giả thiết tổng của .