Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Chương 5. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN

Định nghĩa: Cho X, Y là hai K- không gian vectơ. Ánh xạ f : X Y là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn 2 điều kiện: 1) f(a + b) = f(a) + f(b) a, b X 2) f(αa) = αf(a) a X, α K Chú ý: Các điều kiện 1 và 2 tương đương điều kiện sau: 3) f(αa + βb) = αf(a) βf (b) a, b X, α,β K Một ánh xạ tuyến tính f : X X được gọi là một phép biến đổi tuyến tính. | Chương 5. GIÁ TRỊ RIÊNG - VECTƠ RIÊNG - CHÉO HÓA MA TRẬN 5.1. Trị riêng - vectơ riêng 5.2. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính chéo hóa ma trận 5.3. Ánh xạ tự liên hợp và chéo hóa ma trận đối xứng thực I. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. Định nghĩa và ví dụ. 1.1. Định nghĩa Cho X Y là hai K- không gian vectơ. Ánh xạ f X Y là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn 2 điều kiện 1 f a b f a f b Va b e X 2 f aa af a Va e X Va e K Chú ý Các điều kiện 1 và 2 tương đương điều kiện sau 3 f aa pb af a pf b Va b e X Va p e K Một ánh xạ tuyến tính f X X được gọi là một phép biến đổi tuyến tính của X. Như vậy muốn chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính thì ta cần kiểm tra điều kiện 1 và 2 hoặc 3. 1.2. Các ví dụ. 1. Ánh xạ không O X Y a M O a 0 là ánh xạ tuyến tính. 2. Ánh xạ đồng nhất id X Y a id a a là ánh xạ tuyến tính. 3. Ánh xạ f R2 R x1 x2 f x1 x2 x1 3x2 là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh Vx x1 x2 y y1 y2 e R2 ta có f x y f x1 y15x2 y2 X1 yi 3 x2 y2 xi 3X2 yi 3y2 f x f y Vx x1 x2 e R2 Va e R ta có f ax f ax1 ax 2 ax1 3ax 2 a x1 3x 2 af x 1.3. Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính. Cho X Y là hai K- không gian vectơ f X Y là ánh xạ tuyến khi đó 1. f 0 x 0 y 2. f a -f a 3. Va1 a2 . an e X Va1 a2 . an e K ta có f a 1 a 2a 2 . a n a n af a1 a 2f a 2 . a n f a n 4. Ánh xạ tuyến tính biến một hệ phụ thuộc tuyến tính thành một hệ phụ thuộc tuyến tính. 5. Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạn của một hệ vectơ. 2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính. 2.1. Định lý cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính. Định lý 1 Cho X là không gian vectơ n chiều dimX n E e1 e2 . en là một cơ sở của X Y là không gian vectơ tùy ý và Òị b2 . bn là hệ các vectơ tùy ý trong Y. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f X Y thỏa mãn f ei bi Vi 1 2 . n. Từ định lý trên ta thấy rằng một ánh xạ tuyến tính hoàn toàn được xác định nếu như ta biết được ảnh của một cơ sở của nó. Và để cho một ánh xạ ta chỉ cần cho ảnh của một cơ sở là đủ. 2.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính. Giả sử X Y là hai K- không gian vectơ dimX n dimY m và ánh