Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Chương 3: Phép tính vi phân của hàm một biến

Tham khảo tài liệu 'chương 3: phép tính vi phân của hàm một biến', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Chương 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 3.1 Dãy số và giới hạn của dãy số 3.1.1 Định nghĩa giới hạn của dãy số Định nghĩa 3.1. Dãy số thực là một ánh xạ a N R n a n an Khi đố ta được một dãy các số thực a1 a2 .an . Kí hiệu là an . an gọi là số hạng tong quát thứ n của dãy. Dãy số hoàn toàn được xác định khi biết số hạng tong quát của nố. - Dãy con. Cho dãy số thực an . Giả sử n1 n2 .nk . là một dãy tang thực sự các số tự nhiên thì dãy nni an2 . ank . là dãy con của dãy an và viết là ank c an . Định nghĩa 3.2. Ta nối rằng a lim an 8 0 9N 8n N an a nu - Khi đố ta nối dãy an hội tụ đến a. - Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ. Định lý 3.1. Giới hạn của dãy số nếu cố là duy nhất. Chứng minh. Giả sử lim an a . Nếu có số b a cũng là giới hạn của dãy an . Khi đó với j - I 0 thì 9N1 8n N1 an a 9N2 8n N2 an b Chọn N0 max N1 N2 thì với mọi n N0 ta có a b a an an b a an an b 2. a b Mâu thuẫn chứng tỏ điều giả sử là sai đinh lý được chứng minh. Định lý 3.2. Nếu dãy số thực an cố giới hạn là a thỉ mọi dãy con của nố cũng cố giới hạn là a. Ví dụ 3.1. Xét dãy an sao cho an a với mọi n ta có lim an a. Thật vậy 8 0 9N 0 8n N an a a a 0 Tức là lim an a nu http maths3.wordpress.com 21 Ví dụ 3.2. Giới hạn lim 0. Thật vậy với mọi nu n 0 chọn N rn 1 thì với mọi n ta có an - 0 11 n N - - 0 n Ví dụ 3.3. Giới hạn lim qn 0 nếu q 1. Thật vậy - Nếu q 0 thì lim qn 0 Theo ví dụ 1 . - Nếu q 0 thì 8 0 9N log q 1 8n N an 0 qn 0 . Ví dụ 3.4. Giới hạn lim 1 n không tồn tại. nu Cách 1. Thật vậy giả sử ngược lại tồn tại giới hạn lim 1 n. Khi đó với 1 9N 8n N -1 n - a 1 Khi n chẵn và n lẻ ta có 1 a 1 và 1 a 1 Ta đi đến mâu thuẫn 2 1 1 1 - a a 1 1 - a 1 a 1 1 2. Cách 2. Xét hai dãy con với các chữ số chẵn và lẻ không cùng một giới hạn. Định nghĩa 3.3. Dãy an được gọi là bị chặn trên bị chặn dưới nếu tập A an n 2 N có tính chất tương ứng. Định lý 3.3. Dãy số an hội tụ thì nó bị chặn. Chứng minh. Giả sử lim an a. Khi đó với 1 9N0 8n N0 an a 1. nu Do đó an a 1 8n N0 Chọn M max a1 a2 . aNo a 1 thì rõ .