Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Đề bài và lời giải đề thi toán cấp quốc gia 2010 - 2011 part 2

Tham khảo tài liệu 'đề bài và lời giải đề thi toán cấp quốc gia 2010 - 2011 part 2', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | mo t I I ri I _cz rn mathematics 4 teachers n students BÀI SỐ 4 TOÁN RỜI RẠC Bài 4. Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh và hai đường chéo AC AD có độ dài không vượt quá V3. Trong ngũ giác lồi lấy 2011 điểm phân biệt bất kì. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác lồi ABCDE và chứa ít nhất 403 điểm trong số 2011 điểm đã cho. Lời giải. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề. Cho điểm I nằm trong tam giác XYZ có độ dài các cạnh nhỏ hơn V3. Khi đó min IX IY IZ 1. Chứng minh. Thật vậy vì XIY YIZ ZIX 360 nên trong ba góc XIY YIZ ZIX phải có một góc không nhỏ hơn 120 . Giả sử XIY Ê 120 thì trong tam giác 4IXY theo định lý cosin ta có 3 Ê XY2 IX2 IY2 - 2IX IY cos XIY ÊIX2 IY2 IX IY Ê 3min IX2 IY2 . Từ đây đưa đến min IX IY É 1. Bổ đề được chứng minh. Quay trở lại bài toán. Theo giả thiết thì các tam giác 4ABC 4ACD 4ADE đều có cả ba cạnh nhỏ hơn 3 mà mỗi điểm trong 2011 điểm gieo trong ngũ giác ABCDE đều thuộc miền trong của một trong ba tam giác này nên theo bổ đề mỗi điểm phải cách một đỉnh nào đó của ngũ giác một khoảng không lớn hơn 1. Theo nguyên lý Dirichlet có một đỉnh của ngũ giác có khoảng cách không lớn hơn 1 đến ít nhất 2511 403 điểm. Từ đó ta có điều phải chứng minh. 20 mo t I I ri I _cz rn t i .ii.t.st iDlỄN đàn Toán học Math.vn mo t I I ri I _cz rn mathematics 4 teachers n students BÀI SỐ 5 DÃY Số CÓ TÍNH CHAT Số học Bài 5. Cho dãy số nguyên an xác định bởi a0 1 a1 -1 và an 6an-1 5an-2 với mọi n Ê 2. Chứng minh rằng a2012 - 2010 chia hết cho 2011. Lời giải 1. Xét dãy bn được xác định như sau b0 1 b1 -1 và bn 6bn-1 2016bn-2 với mọi n Ê 2. Dãy này có phương trình đặc trưng x2 - 6x - 2016 0 có hai nghiệm là x -42 và x 48. Từ đây sử dụng kiến thức về phương trình sai phân ta tìm được công thức tổng quát của dãy là _41 48n 49 -42 n n 90 8n 2 N. Ngoài ra ta cũng dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng an - bn mod 2011 8n 2 N. Theo đó ta chỉ cần chứng minh b2012 1 - 0 mod 2011 nữa là xong. Ta có 41 482012 49 -42 2012 90 62012 1 .