Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Phương pháp biểu diễn SOS

Phương pháp biểu diễn SOS | 0.1. BIỂU DIỄN CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP SOS 1 0.1 Biểu diễn cơ sở phương pháp SOS Mở đầu Trong các bài toán được dẫn ra ở các mục trưdc hẳn các bạn đã nhận thấy sự lặp đi lặp lại của biểu diễn dạng F a b c Sa b c 2 Sb c a 2 Sc a b 2. Các định lý sau đây sẽ cho thấy sự tồn tại của biểu diễn đó. Chúng tôi tự giói hạn mình trong lóp các bất đẳng thức 3 biến đối xứng tuy nhiên điều đó sẽ không làm hạn chế tầm ứng dụng của phương pháp này. Các bạn có thể sử dụng các ví dụ để kiểm chứng rằng vói cùng tư tưởng dưói đây hầu hết các bất đẳng thức hoán vị 3 cũng có những biểu diễn tương tự. Chúc các bạn may mắn 0.1.1 Các khái niệm cơ bản i Tập xác định TXĐ Từ đây trở đi nếu không có gì thay đổi để cho bài toán rõ ràng và tránh những phiền phức không đáng có TXĐ của tất cả các hàm số và bất đẳng thứuc sẽ giói hạn trong tập các số thực không âm ứ hơn nữa đôi khi để hợp lý chúng ta sẽ bỏ đi điểm 0 0 0 . ii Định nghĩa 1 về hàm đối xứng ba biến Một hàm phân thức ba biến F a b c được gọi là đối xứng nếu và chỉ nếu đồng nhất thức sau F a b c F x y z đúng vói mọi hoán vị x y z của a b c . Hơn nữa nếu vói mọi số thực dương x mà F x x x 0 thì F a b c được gọi là hàm đối xứng ba biến chuẩn. iii Định nghĩa 2 về hàm nửa đối xứng ba biến Một hàm phân thức ba biến G a b c được gọi là nửa đối xứng nếu và chỉ nếu đồng nhất thức sau G a b c G a c b đúng vói mọi bộ ba số thực dương a b c . Hơn nữa nếu vói mọi cặp hai số thực dương x y mà G x y y 0 thì G a b c được gọi là hàm nửa đối xứng ba biến chuẩn. 0.1.2 Các định lý cơ sở i Định lý 1 về cơ sở của phương pháp SOS Giả sử F a b c là một đa thức đối xứng ba biến chuẩn thì tồn tại một đa thức nửa đối xứng ba biến G a b c sao cho đồng nhất thức sau là đúng F a b c G a b c b c 2 G b c a c a 2 G c a b a b 2 Trưóc khi đưa ra một chứng minh của định lý này dựa trên một số hiểu biết đơn giản về không gian vecto chúng tôi muốn nhấn mạnh vói các bạn rằng định lý trên là đủ để áp dụng đối vói tất cả các hàm phân thức đối xứng ba biến. 2 Bởi vì định lý 1 hạn .