Đang chuẩn bị liên kết để tải về tài liệu:
Giáo trình Giải tích Toán học: Tập 2 (Phần 2) - GS. Vũ Tuấn

Mời các bạn tham khảo phần 2 của cuốn giáo trình Giải tích Toán học: Tập 2 sau đây để nắm bắt được những kiến thức về tích phân phụ thuộc tham số; tích phân bội; tích phân mặt. Giáo trình phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán và những bạn quan tâm tới lĩnh vực này. | Chương IX. TICH PHAN PHỤ THUỌC THAM SỐ 1. TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM số VỚI CẬN LÀ HẰNG SỐ Chù hàm số hai biến sô x tí xác định trên hình chữ nhật íơ X b R l a H p Già sứ với mồi giá trị u a p hàm số a u khả tích theo biến số X tức là tích phân u dx a có một giá trị xác định. Vây lích phân đó là một hàm số của M F u ịf x u dx 1 và dược gọi là tích phán phụ thuộc thơm sô với cận là hang số u được gọi là tham số. Rõ ràng hàm sổ F u xác định trên đoạn a. p . I d Thi dụ. ĩ 7 atcsinuxl arcsin là hàm số của u xác định trẽn doan iJFFF 10 Vân đé được đặt ra ờ dãy là lìm điều kiện để hàm số F u liên tục khá vì hay khả ích. 1. Tính liên tục Định lý 9.1. Nếu hàm số f x u liên tục trên hình chữ nhật R Qđ ờ x ct p h thì hàm sô Fill i x w íÀ iên tục trẽn đoạn X P . 17 GĨGĨ ĨHC- 2 177 Chứng minh. Vì hàtn số V m liên tục trên R nổn vói mỗi ỉ e a P nó liên ục theo X trẽn ư h . Do đó tồn tại hàm sổ h wp.v n Bàỵ giờ ta chứng minh ràng F m liên tục tại u E ot 0 Già sừ M Aue a p . Ta có ỉ b F - F u An - F u MS Am Zv - m J.v íì ÍJ b J x M Aw - .v m íZv . 2 a Cho 0. Vì hàm số .r. n liên tục trên miền đóng và bị chận X tz p nen liên tực đỂu trên miên đó. Do dó. với 0 cho trưốc tồn lai so 5 0 sao cho vờ hai điểm bất kỳ V Mị .Vo M2 e R mà khoảng cách giữa chúng nhó hơn ô thì W1 - -G. 1 E Vì hai điểm và .V.M An cùng thuộc R và khoảng cách giữã chúng bằng Am nên khi Ai Ị s thì .r. u Am - . . z E. b b Do đó. từ 2 suy ra ỊA 7 j y . . It Am - V u d. jer .v c h -m ư a cho nên lim AF 0 tức là F u liên tục tại M. aj - 0 2. Tính khả vi Định lý 9 2. Nếu với mồi M e Ịct p hàm số y .r. m liên tục theo biến sô Y trỏn đoạn rr. b và ttèu m là hàm sô liên tục trên hình chữ nhật R 7. A x a.p thì hàm h SÔ F m - t ư.v khá vi trên đoạn ữ. 0 và ta có íi 7 7X I F u J Ja u Ja 3 ư Chưỉĩỉi mmh VI x lien tục theo X rên ư b nên tổn tại hàm sô h F u J -V u dx . íl b Ta sẽ chứng minh rằng u Ịỹ A u dx. í Giá sứ u và u Au đều thuộc đoạn ct p thì theo 2 AF r A- At - -V Au J Am ỉ Áp dụng đinh lý Lagrange đối với hàm số một .